负频率是有明确的物理意义和工程价值的
在对任何信号进行傅立叶分析时，得出的频谱为复数，且其频率范围将从-∞~∞。对于负频率以及该范围的频谱，应当如何理解?它有没有物理意义?是一个还缺乏讨论，因而没有统一看法的问题，本文将对此进行讨论。
1。频率的概念就是从机械旋转运动来的，此时ω=dθ/dt定义为角速度，对于周期运动，角速度也就是角频率。通常θ以反时针为正，因此转动的正频率是反时针旋转角速度，负频率就是顺时针旋转角速度。这就是它的物理意义，正、负号不影响它的物理意义。
2。电的单位向量（电压或电流）围绕原点的转动，可以用u=ejθ=ej(ωt+θ0)表示，这是在电路中都清楚的。θ的正负所代表的物理意义从未有什么争议，它的导数ω=dθ/dt的物理意义不言自明，取正取负都不影响定义，为什么取负就会失去物理意义了呢？
3。在信号与系统课程中，为了简化问题，便于初学者掌握概念，把研究范围限定于实信号f(t)，也就是在电压旋转向量u =ejωt=cos(ωt)+jsin(ωt)中，只研究它在实平面或虚平面上的一个投影，研究复信号ejωt的特性与只研究实信号sin(ωt)或cos(ωt) 是两个不同的层次。前者是反映信号在空间的全面特性，后者只研究了信号在一个平面（x-t或y-t组成的平面）上投影的特性。这就必然要丢掉一些重要的信息，至少会丢掉旋转信息。很显然，在x-t或y-t的平面内，是不可能看出旋转的，不管是正转还是反转。既看不到θ，更看不到ω，只有在x-y平面上才能看到这两个参数。一些人老是看不到负频率，原因之一就在于一直只接触实信号，而没有更广阔的复信号的视野。
4。同样，用ejωt或sin(ωt)或cos(ωt)作为核来做傅立叶变换所得的结果也是前者全面，后者片面。对实信号做傅立叶变换时，如果按指数ejω t为核来求，我们将得到双边频谱。以角频率为Ω的余弦信号为例，它有具有位于±Ω两处的，幅度各为0.5，相角为零的频率特性。它的几何关系可以用右图表示。两个长度为0。5的向量，分别以±Ω等速转动，它们的合成向量就是沿实轴方向的余弦向量。而沿虚轴方向的信号为零。可见必须有负频率的向量存在，才可能构成纯粹的实信号。所以欧拉公式 是有其明确的几何意义（即物理意义）的。在我写的[1]中给出了动画，并给出了正、负数字频率的几何解释。
5。了解了正余弦信号中包括正负双边频谱，不仅有物理意义，而且具有重要的工程价值。例如，可以根据这个概念来构成旋转电磁场，设计电动机。上面给出了单位余弦波在正负两个频率上有幅度相等，相角相均为零的两根谱线；同样，单位正弦波在同样正负两个频率上也有幅度相等的谱线，不过它们的相角分别为±π/2。用立体图表示如图3(a)。
如果把正弦和余弦两个信号的正频率频谱设计得相等相反，则把它们合成以后，就只剩下负频率的频谱，它就构成一个单纯负向旋转的电信号。为此可以把正弦信号在空间上转动π/2，使它的正频率谱线恰好与余弦信号的正频率谱线反向，这样两个信号的合成（见图3 (b)）就成为一个只有负频率谱线的信号，当然它在时域必然是复数信号，怎么可能是没有物理意义的东西呢？常用的二相异步电机就是这样负向转动的。而要使该电机正转，则要使两者的负频率频谱互相抵消，只保留其正频率频谱。
6。实信号的正负频谱是奇对称的。如果它的单边频带宽W，考虑到负频率频谱，实际占的频谱区域就是±W，所以通信中要传输这样的信号就需要占用2W的频带宽度。为了节省频带，人们就发明了Hilbert变换，它可以把信号的正频率频谱移相负90度，把负频率频谱移相90度，然后再将这个信号移相90度与原信号相加，使两者的负频率频谱互相抵消，正频率频谱加倍，构成一个没有负频率频谱的复信号。（如同上面所说的二相异步电机那样）。这个复信号的带宽就只占W了。用这个方法，使频带节约了一半。在这里，我们看到负频率频谱的重要性，在传送信号时。它是不可或缺的部分。另外，也看到负频率频谱与复信号的密切关系。
7。多普勒频率又是一个负频率的实例，如果信号的发射源向我们运动而来，那么多普勒频率就是正频率；如果信号的发射源向我们远离而去，那么多普勒频率就是负频率，在这里正负频率都是有明确物理意义的。虽然多普勒频率是一种差频，它仍然符合上述的原理，在实信号域只能求出多普勒频率的大小，但检测不出它的正负。要得到负频率，必须从复信号域考虑，利用信号实部和虚部的相位关系来判断，从而找到相应的原理和设备框图。
8。负频率频谱的物理意义往往不为某些人们理解，其主要原因是他们忘记了实数信号平面内研究问题的局限性。因为在信号与系统课程中研究的信号通常只限于实信号。从实信号的x-t的波形图上根本看不出频率的转向和正负，频率只能表现为每秒信号重复的次数。分不清正负就以为是正频率，只是一种习惯性的思维方法而已。
科学地说，转角和频率的正负，必须在x-y平面或三维信号空间中才能观察到。因为观察的方法不对，看不到其意义，从而否认它的存在，这是认识论上的错误，不是科学的方法。这就和“瞎子摸象”的故事所说的那样，摸象腿的人否认象有鼻子，毛病出在他的验证方法。他老想在象腿（实信号域）上找到象鼻子（负频率），当然也永远找不到。正确的方法是必须换一个角度，摸别的部位（复信号域），才能得到全面的知识。
9。某些人不承认负频率还是由于固执地坚持”频率是每秒钟循环的次数” 的陈旧概念，其实频率的概念是不断发展充实的。从傅立叶变换的核ejωt已经可以清楚地看到它用到的是角频率即角速度的概念，单位是弧度/秒，而且具有明确的方向和正负号。而进入到数字信号处理时频率又进一步发展为数字频率，它的单位是弧度，取值范围是[-π，π]。它的物理意义已变为两次采样时刻之间向量转过的角度，在文献[1]中对此有详细的说明。如果停留在”每秒次数”的旧概念上，那就永远无法接受新的事物。
10。我认为，“×××只有数学意义，没有物理意义”这样的话，在哲学上是不对的。教师和科学工作者在任何情况下都不该这么认识，更不能写在书上和幻灯片上。数学是更抽象、更深刻地描述物理现象的工具，其中通常包含了极为重要的结果，而物理是实证的科学，有时限于条件，人们暂时还认识不到其物理意义。数学超前物理是科学史上多次出现的现象，比如虚数、非欧氏几何、。。等。这时应该努力去理解它，认识它，而不是轻易地放弃它。给学生讲课时，只能说“我们目前还没有想通×××的物理意义”，自己没想通，没找到的事物，不能说它不存在。这是我自己探索科学的座右铭，也希望青年师生有这种钻研精神。
11。这个问题的提出，是因为我在旁听“信号与系统”课程时，在老师的幻灯片上看到了“关于双边谱，负频率只有数学意义，没有物理意义”的提法。我觉得这是个大问题，恐怕不是一个老师的想法。回来一问，果然如此。据说也不单是我们学校的问题，有的教材上甚至都这么写。
讨论这个问题，不仅是理论上的探讨，对于提高教学质量是有重大意义的。今天，信息技术如此的发展，很大程度是由于深入大量地开发频谱资源的结果。在同学刚进入这个资源库的时候，我们要引导他们对这个宝藏发生极大的兴趣，非常珍惜这个宝藏，去深钻，去挖掘。不能轻率地、毫无根据地一句话就把它一半扔掉了。在入门的时候，当然不可能把我上面说的概念统统灌输给学生，要顺序渐进。但老师首先要有更宽广的知识面和更科学的思维方法，教出的学生的才会具备更多的想象力和创造性。所以我希望教信号与系统课和信号处理课的老师参与这个讨论。特别希望听到有论据的反面意见。
转自陈怀琛博客
